华师大版2020-2021年八年级数学上册导学案
2.直角三角形的判定
学习目标：
1.掌握勾股定理逆定理的概念（重点）；
2.让学生理解勾股数的概念，并牢记勾股数，学会勾股定理的使用技巧； 3.利用勾股定理的逆定理解决实际问题（难点）.
自主学习
一、知识链接
1.勾股定理的内容是什么？
2. 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；c=_____； ② a＝2.5，b＝6；c=_____； ③ a＝4，b＝7.5，c=_____.
二、新知预习
1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）. A.3、4、3 ； B.3、4、5； C.3、4、6； D.6、8、10.
2.判断:通过测量角度，判断上述你所画的三角形的形状. A._________ B.__________ C._________ D._________
3.找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边（c）的平方与其他两边（a，b）的平方和之间的关系. A._________ B.__________ C._________ D._________
合作探究
一、探究过程
探究点1：勾股定理的逆定理
活动 有以下三组数，分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题 算一算上面边长的平方之间的关系，结合形状的判断，你发现了什么？
猜测 如果三角形的三边长a,b,c满足___________,那么这个三角形是_________三角形.
验证 下面我们根据全等进行证明.
已知：△ABC的三边长a，b，c，满足a+b=c． 求证：△ABC是直角三角形.
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证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a， 则A′B′=_______+________
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∵a+b=c，∴A′B′=_______.
在△ABC和△A′B′C′中， A′C′=AC，
B′C′=BC， ______=_______, ∴△ABC____△A′B′C′(________) .
∴∠C____∠C′_____90°， 即△ABC是__________三角形.
【要点归纳】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
例1若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，判断△ABC的形状.
【方法总结】已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
【针对训练】
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 2.已知a、b、c是△ABC的三边长，若|a﹣b|+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是 ．
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例2 某木工做了一个长方形的门框，AB=1.5m，AD=2m，测得BD=2.6m．若∠DAB=90°，则
符合要求，请问他做的门框符合要求吗？说明理由.
探究点2：勾股数
【概念提出】 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数. 【典例精析】
例3 下面各组a、b、c，是勾股数的是 ．（填序号） ①a＝7，b＝24，c＝25 ②a＝5，b＝13，c＝12 ③a＝4，b＝5，c＝6 ④a＝0.5，b＝0.3，c＝0.4
【方法总结】根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
二、课堂小结 勾股定理的逆定理 内 容 如果三角形的三边长a 、b 、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形,且边c所对的角为直角. 222勾股定理的逆定理的作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形. 1. 最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角. 2. 勾股数一定是______数. 注 意
当堂检测
1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，7 B.6，10，8 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5 2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.若(c+a)(c-a)=b,则△ABC是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 4.若a，b，c满足（a﹣5）2+|b﹣12|+ ．
5.一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是 cm. 6. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝（1）求AD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
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＝0，则以a，b，c为边的三角形面积是
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拓展提升
7.若△ABC的三边长a,b,c 满足a+b+c+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状，并说明理由.
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参考答案
自主学习 一、知识链接
1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2.① 5 ②6.5 ③8.5 二、新知预习 1.画图略.
2.锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 直角三角形 3.a²+b²＞c² a²+b²=c² a²+b²＜c² a²+b²=c²
合作探究
一、探究过程 探究点1：
猜测 a²+b²=c² 直角 验证 A′C′角三角形． 【针对训练】 1.C 2.等腰直角三角形
例2 解：不符合，理由如下：因为1.52+22=6.25，2.62=6.76，所以AB2+AD2≠BD2，因此△ABD不满足直角三角形的条件，所以∠DAB≠90°.所以不符合要求.
探究点2： 例3 ①② 课堂小结 正整数
当堂检测
1.B 2.A 3.C 4.30 5.12
6.（1）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴AD＝（2）证明：由（1）知AD＝
＝
＝
.
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B′C′
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c A′B′ AB ≌ SSS = = 直角
例1 解：设a=3k，b=4k，c=5k，且k≠0，则a2+b2=9k2+16 k2=25k2=c2.∴a2+b2=c2.∴△ABC是直，同理可得BD＝，∴AB＝AD+BD＝5．∵32+42＝52，∴BC2+AC2
＝AB2.∴△ABC是直角三角形．
7.解：a+b+c+50=6a+8b+10c可以变形为（a-3）²+（b-4）²+（c-5）²=0.即a=3，b=4，c=5.∵a+b=c，∴△ABC是直角三角形．
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