图形的展开与折叠解题思路与点评

新课程标准要求同学们对空间图形有较准确的认识和感受，具体地说，包含三个方面：（1）能用平面展开图描述出该立体图形；（2）能由立体图形画出至少一种其平面展开图，设计较简单实物的平面图纸；（3）能判断一个图形是否能围成一个立体图形。因此，切实掌握图形的展开与折叠势在必行，现解读如下：

例1. 如图1，一个多面体的展开图中，每个面内的大写字母表示该面，被剪开的棱边所注的小写字母可表示该棱。

（1） 说出这个多面体的名称； （2） 写出所有相对的面；

（3） 若把这个展开图折叠起来成立体时，哪些被剪开的棱将会重合？

（图1）

思路：选取面X相对固定，将面R，面Y想像折起，再遮挡面Q，Z，P即成。 解答：（1）这个多面体是正方体。

（2）相对的面有三对：P与X，Q与Y，R与Z.

（3）将会重合的棱有：a与h，b与i，c与n，d与e，f与g，j与k，m与l. 点评：这个问题的解决，无疑对同学们形成良好的空间观念是一个很好的锻炼。

例2. 如图2是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了字母，请回答：如果F在前面，从左面看是B，那么哪一面会在上面？

（图2）

思路：这里有两种折法：一种向里折，一种向外折。 解答：E或C会在上面。

点评：一个平面展开图，折成立方体的方式有两种，一种向里折，一种向外折。此题往往易忽略其中一种，造成漏解。这不但培养了同学们的空间观念，而且告诫同学们思考问题要全面。 例3. 将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，回答下列问题： （1） 你能设法得到图3中的平面图形吗？

（图3）

（2） 你还能得到哪些平面图形？与同伴进行交流。 （3） 图4中的图形经过折叠，能否围成一个正方体？

（图4）

思路：由于一个正方体有12条棱、6个面，将其表面展开成一个平面图形，其面与面之间相连的棱（即未剪开的棱）有5条，因此需要剪开7条棱。（1）中的两个平面图形都可由一个正方体沿着某些棱剪开展成，可在原正方体上标出上、下底面，根据需要剪开7条棱即可；

（2）将一个正方体沿着某些棱剪开后，可得到很多平面图形，所以答案很多；（3）有两种途径：一是动手操作，仔细观察；二是先假定出上、下底，通过想象亲自折一折，看能否折成正方体。 解答：（1）能，其中在原正方体上标出上、下底面如图5所示。

（图5）

（2）图略，请同学们动手试一试，看谁得到的多，准。

（3）第一副图不能，第二副图能。其中第二副图先假定出上、下底面如图6所示。

（图6）

点评：此题命题意图有二：1.通过观察和动手操作，经历和体验图形的变化过程；2.考查将平面图形复原成立体图形的能力。 小时牛刀

1、有一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这六个数，根据图1中A、B、C三个图中所写数字想一想“？”处的数字是什么？

5 4 A

1

1 2 B 图1

3

？ 4 C

5 2、如图2，右边四个图形折叠后，能得到左边正方体的是（ ） ① ②

③ ③ ① ②

① ② ③

③ ② ①

③ ①

②

A. B. C. D.

图2

3、如图3所示，是一个几何体的展开图，每个面上都标有相应的字母.

（1）如果A面在几何体的底部，上面的是哪一面？ （2）若F面在前面，从左看是B面，上面是哪一面？ （3）右看是C面，D面在后面，上面是哪一面？

A

B C D E F

图3

析解：

1、我们知道，正方体的任何一个面都与其余的五个面中的四个面相邻、一个面相对.本题中标有“1”的面与标有“4”，“5”，“2”，“3”相邻，则标有“1”的面的对面是标有“6”的面.所以“？”处应是“6”.

2、左边的正方体仅给出了三个带有标记的面，由此可知，标有①、②、③的三个面相邻；但不能确定其余三个面是否带有标记.再考虑正方体的四个展开图，选项B、C中标有①和③的两个面相对，不符合要求，由此排除B、C；选项D中标有②的面与标有①和③的两个面不相邻，也不符合要求.所以本题正确的答案为：A.

3、首先确定相对面：由展开图知，标有A的面与标有F的面是相对面，标有B的面与标有D的面是相对面，那么剩下的标有C的面与标有E的面应该是相对面.所以当A面在几何体的底部时，上面的面应是F面.若F面在前面，则A面在后面；从左看是B面，则右边应该是D面；由此，可以知道上面的一面是C面.类似的，当“右看是C面，D面在后面”时，上面的一面是A面.