一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．
（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；
（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．
（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．
【答案】（1）解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，
∴C（1，1）， ∵AC∥y轴，AB∥x轴， ∴A点横坐标为1，
∵A点在函数y= （x＞0）图象上， ∴A（1，4）， ∴B点纵坐标为4， ∵点B在y= 的图象上， ∴B点坐标为（ ，4）；
（2）解：设A（a， ），则C（a， ），B（ ， ），
∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ， ∴S△ABC= AB•AC= × × = ，
即△ABC的面积不发生变化，其面积为 ；
（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，
∵AB∥x轴， ∴△ABC∽△EFC，
∴ = ，即 = ， ∴EF= a，
由（2）可知BG= a， ∴BG=EF， ∵AE∥y轴， ∴∠BDG=∠FCE， 在△DBG和△CFE中
∴△DBG≌△CEF（AAS）， ∴BD=EF．
【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．
2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上， ∴k=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ， ∵点B在反比例函数y=﹣ 的图形上， ∴﹣2m=﹣6， ∴m=3， ∴B（3，﹣2），
∵点A，B在直线y=ax+b的图象上， ∴ ∴
，
，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+1
（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形， ∴AB=PQ，AB∥PQ，
设直线PQ的解析式为y=﹣x+c， 设点Q（n，﹣ ），
∴﹣ =﹣n+c， ∴c=n﹣ ，
∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣ ， ∴P（1，n﹣ ﹣1），
∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣ ﹣1+ ）2=2（n﹣1）2 ， ∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2）， ∴AB2=50， ∵AB=PQ， ∴50=2（n﹣1）2 ， ∴n=﹣4或6，
∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．
3．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．
（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；
（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；
（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的
度数．
【答案】（1）解：∵A（5，0）， ∴OA=5． ∵ ∴
， ，解得OC=2，
∴C（0，﹣2）， ∴BD=OC=2，
∵B（0，3），BD∥x轴， ∴D（﹣2，3）， ∴m=﹣2×3=﹣6， ∴
，
设直线AC关系式为y=kx+b， ∵过A（5，0），C（0，﹣2），
∴ ∴
∴BC=5=OA，
，解得 ；
，
（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2）， 在△OAC和△BCD中
∴AC=CD，
∴△OAC≌△BCD（SAS）， ∴∠OAC=∠BCD，
∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°， ∴AC⊥CD；
（3）解：∠BMC=45°． 如图，连接AD，
∵AE=OC，BD=OC，AE=BD， ∴BD∥x轴，
∴四边形AEBD为平行四边形， ∴AD∥BM， ∴∠BMC=∠DAC， ∵△OAC≌△BCD， ∴AC=CD， ∵AC⊥CD，
∴△ACD为等腰直角三角形， ∴∠BMC=∠DAC=45°．
【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出 反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3） 由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出 △OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.
4．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】（1）解：设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20， 把B（10，40）代入得，k1=2， ∴y1=2x+20．
设C、D所在双曲线的解析式为y2= ， 把C（25，40）代入得，k2=1000， ∴
当x1=5时，y1=2×5+20=30，
当 ∴y1＜y2
∴第30分钟注意力更集中． （2）解：令y1=36， ∴36=2x+20， ∴x1=8 令y2=36， ∴ ∴
，
，
∵27.8﹣8=19.8＞19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【解析】【分析】（1）根据一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求出线段AB所在的直线的解析式，和C、D所在双曲线的解析式；把x1=5时和
进行比较得到
y1＜y2 ， 得出第30分钟注意力更集中；（2）当y1=36时，得到x1=8，当y2=36，得到
， 由27.8﹣8=19.8＞19，所以经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的
状态下讲解完这道题目.
5．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．
（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M的坐标．
【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12， ∴y= ． OA=
=5，
∵OA=OB， ∴OB=5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得： 解得： ∴y=2x﹣5．
（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上， ∴设点M的坐标为（x，2x﹣5）， ∵MB=MC， ∴
解得：x=2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .
6．已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上． （1）k的值是________；
（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数y=
图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若 = ，则b的值是________．
【答案】（1）﹣2 （2）3 n+2），
【解析】【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，n），则点Q的坐标为（m﹣1，
依题意得： 解得：k=﹣2． 故答案为：﹣2．
（2）∵BO⊥x轴，CE⊥x轴， ∴BO∥CE， ∴△AOB∽△AEC． 又∵ = ， ∴
=
=
．
，
令一次函数y=﹣2x+b中x=0，则y=b， ∴BO=b；
令一次函数y=﹣2x+b中y=0，则0=﹣2x+b， 解得：x= ，即AO= ． ∵△AOB∽△AEC，且 ∴
．
= ，
∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b． ∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4， 解得：b=3 故答案为：3
，或b=﹣3 ．
（舍去）．
【分析】（1）设出点P的坐标，根据平移的特性写出Q点的坐标，由点P,Q均在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组，两式作差即可求出k的值；
（2）由BO⊥x轴，CE⊥x轴，找出△AOB∽△AEC．再由给定图形的面积比即可求出=
=，根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE
的长，利用OE=AE﹣AO求出OE的长，再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程，解方程即可得出结论。
7．抛物线y=
+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点
M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值； （2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB； （3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=
，求点M的坐标．
【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1） ∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1） ∵顶点在直线y=x+3上， ∴﹣2+3=m﹣1， 得m=2；
（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，
∵点N在抛物线上，
∴点N的纵坐标为： a2+a+2， 即点N（a， a2+a+2）
在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a， ∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2 ， =（ a2+a）2+（a2+4a）+4， 而NB2=（ a2+a+2）2 ， =（ a2+a）2+（a2+4a）+4
∴NF2=NB2 ， NF=NB
（3）解：连接AF、BF，
由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA， ∴∠MAF=∠MFA， ∵MA⊥x轴，NB⊥x轴， ∴MA∥NB， ∴∠AMF+∠BNF=180°
∵△MAF和△NFB的内角总和为360°， ∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°， ∵∠MAB+∠NBA=180°， ∴∠FBA+∠FAB=90°， 又∵∠FAB+∠MAF=90°， ∴∠FBA=∠MAF=∠MFA， 又∵∠FPA=∠BPF， ∴△PFA∽△PBF， ∴ = ，PF2=PA×PB=
，
过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中， PG=
= ，
∴PO=PG+GO= ，
∴P（﹣ ，0）
设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣ ，0）代入y=kx+b， 解得k= ，b= ， ∴直线PF：y= x+ ， 解方程 x2+x+2= x+ ，
得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），
当x=﹣3时，y= ， ∴M（﹣3， ）．
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。
（2）过点F作FC⊥NB于点C，根据已知条件点N在抛物线上，可得出N点坐标，在Rt△FCN中，利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2 ， 用含a的代数式分别表示出进而得出NF2、NB2 ， 即可得出到NF=NB。
（3）要求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，再通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF2的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，由图像可知直线PF和抛物线相较于点M，建立方程求解，即可得点M的坐标。
8．如图1，已知双曲线y= （k＞0）与直线y=k′x交于A、B两点，点A在第一象限，试回答下列问题：
（1）若点A的坐标为（3，1），则点B的坐标为________；当x满足：________时， ≤k′x；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y= （k＞0）于P，Q两点，点P在第一象限．
四边形APBQ一定是________；
（3）若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．
（4）设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）（﹣3，﹣1）
；﹣3≤x＜0或x≥3
（2）平行四边形
（3）∵点A的坐标为（3，1），
∴k=3×1=3，∴反比例函数的解析式为y= ，∵点P的横坐标为1，∴点P的纵坐标为3，∴点P的坐标为（1，3），
由双曲线关于原点对称可知，点Q的坐标为（﹣1，﹣3），点B的坐标为（﹣3，﹣1）， 如图2，过点A、B分别作y轴的平行线，过点P、Q分别作x轴的平行线，分别交于C、D、E、F，
则四边形CDEF是矩形，
CD=6，DE=6，DB=DP=4，CP=CA=2，
则四边形APBQ的面积=矩形CDEF的面积﹣△ACP的面积﹣△PDB的面积﹣△BEQ的面积﹣△AFQ的面积 =36﹣2﹣8﹣2﹣8=16．
（4）解：mn=k时，四边形APBQ是矩形，不可能是正方形，理由：当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形，此时点A、P在坐标轴上，由于点A，P可能达到坐标轴故不可能是正方形，即∠POA≠90°．因为mn=k，易知P、A关于直线y=x对称，所以PO=OA=OB=OQ，所以四边形APBQ是矩形．
【解析】【解答】解：（1）∵A、B关于原点对称，A（3，1），
∴点B的坐标为（﹣3，﹣1）．由图象可知，当﹣3≤x＜0或x≥3时， ≤k′x．
故答案为（﹣3，﹣1），﹣3≤x＜0或x≥3；（2）∵A、B关于原点对称，P、Q关于原点对称，
∴OA=OB，OP=OQ，∴四边形APBQ是平行四边形．故答案为：平行四边形； =36﹣2﹣8﹣2﹣8=16．
【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称，即可解决问题，利用图象根据正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可确定自变量x的范围．（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．(3)利用分割法求面积即可．（3）根据矩形的性质、正方形的性质即可判定．
9．如图，已知直线l：y=kx+b（k＜0，b＞0，且k、b为常数）与y轴、x轴分别交于A点、B点，双曲线C：y= （x＞0）．
（1）当k=﹣1，b=2
时，求直线l与双曲线C公共点的坐标；
（2）当b=2
时，求证：不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线C只有一个
公共点（设为P），并求公共点P的坐标（用k的式子表示）．
（3）①在（2）的条件下，试猜想线段PA、PB是否相等．若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由；
②若直线l与双曲线C相交于两点P1、P2 ， 猜想并证明P1A与P2B之间的数量关系．
【答案】（1）解：联立l与C得
，
①﹣②，得﹣x+2 化简，得x2﹣2 解得x1=x2=
﹣ =0
，
，
）
x+3=0
，y1=y2=
直线l与双曲线C公共点的坐标为（
（2）解：证明：联立l与C得
，
①﹣②，得 kx+2 化简，得 kx2+2 a=k，b=2 △=b2﹣4ac=（2 ∴kx2+2
C只有一个公共点； x=﹣ 即P（﹣
，y=
，
， ）
x﹣3=0，
，c=﹣3，
）2﹣4k×（﹣3）=12k﹣12k=0，
﹣ =0，
x﹣3=0只有相等两实根，即不论k为任何小于零的实数，直线l与双曲线
（3）解：①PA=PB，理由如下：
y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）； 当y=0时，x=﹣ ，即B（﹣ ，0）， P（﹣
，
），
PA=
，
PB= ∴PA=PB．
②P1A=P2B，理由如下：
，
y=kx+b当x=0时，y=b，即A（0，b）； 当y=0时，x=﹣ ，即B（﹣ ，0），
联立l与C得 ①﹣②，得 kx+b﹣ =0， 化简，得 kx2+bx﹣3=0， 解得P1（
）
P1A2=（
）2 ，
，
， ）P2（ ，
）2+（ ）2 ， P2B2=（ ）2+
（
∴P1A2=P2B2 ， ∴P1A=P2B
【解析】【分析】（1）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的坐标；（2）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可的一元二次方程，根据判别式，可得答案；（3）①根据函数与自变量的关系，可得A、B点坐标，根据两点间距离公式，可得答案；②根据函数与自变量的关系，可得A、B点坐标，根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的坐标，根据两点间距离公式，可得答案．
10．如图1，抛物线y＝ax2﹣4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B ， 与y轴交于点C ， 且OB＝OC ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE ， 直线AE交抛物线于点P ， 求点P的坐标； （3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM ， 将OM绕O点旋转90°，得到线段ON ， 是否存在这样的点N ， 使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】 （1）解：由题意知：抛物线的对称轴为：x=2，则B（3，0）； 已知OB=OC=3，则C（0，-3）；
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），依题意有： a（0-1）（0-3）=-3，a=-1； 故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3．
（2）解：设AE交y轴于点F；
易证得△FOA∽△FEC ， 有 设OF＝x ， 则EF＝3x ， 所以FA＝3x﹣1；
在Rt△FOA中，由勾股定理得： （3x﹣1）2＝x2+1， 解得x＝ ；
即OF＝ ，F（0， ）；
，
求得直线AE为y＝﹣ x+ ，
联立抛物线的解析式得：
，
解得
，
； 故点P（ ，
）．
（3）解：∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC：y＝x﹣3； 设点M（a ， a﹣3），则：
①当点M在第一象限时，OG＝a ， MG＝a﹣3； 过M作MG⊥x轴于G ， 过N作NH⊥x轴于H；
根据旋转的性质知：∠MON＝90°，OM＝ON ， 则可证得△MOG≌△NOH ， 得： OG＝NH＝a ， OH＝MG＝a﹣3， 故N（a﹣3，﹣a），
将其代入抛物线的解析式中，得： ﹣（a﹣3）2+4（a﹣3）﹣3＝﹣a ， 整理得：a2﹣11a+24＝0， a＝3（舍去），a＝8； 故M（8，5），N（5，﹣8）．
②当点M在第三象限时，OG＝﹣a ， MG＝3﹣a；
同①可得：MG＝OH＝3﹣a ， OG＝NH＝﹣a ， 则N（3﹣a ，式可得：
﹣（3﹣a）2+4（3﹣a）﹣3＝a ， 整理得：a2﹣a＝0，故a＝0，a＝1； 由于点M在第三象限，
a），代入抛物线的解析 所以a＜0，
故a＝0、a＝1均不合题意，此种情况不成立； ③当点M在第四象限时，OG＝a ， MG＝3﹣a；
同①得：N（3﹣a ， a），在②中已经求得此时a＝0（舍去），a＝1； 故M（1，﹣2），N（2，1）；
综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，﹣8）．
【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A的坐标表示出点B的坐标，已知OB=OC，即可得到点C的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式．（2）点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE的解析式；设直线AE与y轴的交点为F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF，设OF=x，则EF=3x，AF=3x-1，进而可在Rt△FOA中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．（3）此题应分三种情况讨论：①当点M在第一象限时，可设M（a，a-3），由于ON是由OM旋转90°而得，因此△OMN是等腰直角三角形，分别过M、N作MG、NH垂直于x轴，即可证得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N的坐标；②当点M在第三象限，④点M在第四象限时，解法同①．
11．已知，抛物线
的图象经过点
，
．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）如图1， 是抛物线对称轴上一点，连接 的坐标；
（3）如图2， 是线段 把
上的一点，过点 作
轴，与抛物线交于 点，若直线
分成面积之比为
的两部分，请求出 点的坐标． ，
的坐标分别代入
．
，
，试求出当
的值最小时点
【答案】 （1）解：将 得
解这个方程组，得 所以，抛物线的解析式为
，
（2）解： 如图1，由于点 、 关于 轴对称，所以连接 ，直线 与 轴的交点即为
所求的点 ，
由 解得
，
易得直线 的解析式为： 当 点 坐标
时，
，
．那么， 与直线 的交点坐标为 的交点坐标为
．
，
，
．
，
点的坐标为 又
，令 ， ，
，得
，
（3）解：设 点的坐标为 所以 所在的直线方程为 与抛物线 由题意，得 ①
，即
或
（舍去）．
，
或
（舍去）， ， 或
， ．
，
解这个方程，得 ②
，即
解这个方程，得 综上所述， 点的坐标为
【解析】【分析】（1）将点 、 的坐标代入可得出 、 的值，继而得出这个抛物线的
解析式；（2）由于点 、 关于 轴对称，所以连接 的点 ，利用待定系数法确定直线 （3）如图2，
交
于 ，设 ，
或
，直线 与 轴的交点即为所求
的解析式，然后求得该直线与 轴的交点坐标即可；
，根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特 ，
．
，列关于 的方程，然后分别解关于 的
征，设 点的坐标为 然后分类讨论：分别利用 方程，从而得到 点坐标
12．如图，抛物线
．
与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，且
（1）求抛物线的解析式和顶点 的坐标； （2）判断 （3）点
的形状，证明你的结论； 是 轴上的一个动点，当
的周长最小时，求 的值．
【答案】 （1）解：∵ 点在抛物线上， ∴
，解得
， ， ，
；
为直角三角形，证明如下： 中，令 ，且 为 ，
，
，
，
，
可得 ，
，解得
或
，
∴ 抛物线解析式为 ∵
∴ 点坐标为
（2）解： 在 ∴ 为 ∴
由勾股定理可求得 又 ∴ ∴
， ，
为直角三角形；
（3）解： ∵
，
，
∴ 点关于 轴的对称点为
如图，连接 ，交 轴于点 ，则 即为满足条件的点，
设直线 解析式为
，
把 、 坐标代入可得 ∴ 直线 解析式为 ∴
．
，解得 ，令
，可得
， ，
【解析】【分析】（1）把A点坐标代入可求得b的值，可求得抛物线的解析式，再求D点坐标即可；（2）由解析式可求得A、B、C的坐标，可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形；（3）先求得C点关于x轴的对称点E，连接DE，与 轴交于点M，则M即为所求，可求得DE的解析式，令其y=0，可求得M点的坐标，可求得m．
13．如图，正方形
、等腰
的顶点 在对角线 上(点 与 、 不重合)，
与 交于 ， 延长线与 交于点 ，连接 .
（1）求证： （2）求证： （3）若 ∴ ∵
，
，求
， .
的值.
是正方形，
【答案】 （1）解：∵
是等腰三角形，
∴ ∴ ∴ ∴
，
，
，
，
（2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴
， ， ， ，
，
，
，
，
是正方形，
，
是等腰三角形，
，
（3）解：由(1)得 ∴ 由(2) ∴ ∵ ∴ 在
中，
，
∴
，
， ， ， ， ，
，
，
，
【解析】【分析】（1）证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质得到
∠APF=∠ABP，可证明△APF∽△ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据全等三角形的性质得到∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=90°，根据三角函数和已知条件得到
∠CBQ=∠CPQ即可求解．
，由（2）可得
，等量代换可得
14．如图，抛物线y= 0）．
x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M(m ， 0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 【答案】 （1）解：∵点A（-1，0）在抛物线y= ∴
× (-1 )2 +b× (-1) –2 = 0
x2 +bx-2上
解得b =
x2-
x-2. (x-
)2-
,
∴抛物线的解析式为y= y=
x2-
x-2 =
(x2 -3x- 4 ) =
, -
).
∴顶点D的坐标为 (
（2）解：当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2。 当y = 0时， ∴B (4,0)
∴OA =1, OB = 4, AB = 5.
∵AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20, ∴AC2 +BC2 =AB2. ∴△ABC是直角三角形.
x2-
x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4
（3）解：作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点
M ， 根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小。
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E. ∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM. ∴
∴ ，∴m=
．
解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n ,
则 ∴
∴当y = 0时，
.
，解得n = 2，
.
，
∴
.
【解析】【分析】（1）把点A坐标代入抛物线即可得解析式，从而求得顶点坐标；（2）分别计算出三条边的长度，符合勾股定理可知其是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。
15．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标
为（2，6），点B的坐标为（n，1）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=10，求点E的坐标． 【答案】（1）解：把点A（2，6）代入y=
，得n=12，
，得m=12， 则y=
．
把点B（n，1）代入y=
则点B的坐标为（12，1）．
由直线y=kx+b过点A（2，6），点B（12，1）得
，
解得
，
x+7
则所求一次函数的表达式为y=﹣
（2）解：如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7）． ∴PE=|m﹣7|．
∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=10， ∴
×|m﹣7|×（12﹣2）=10．
∴|m﹣7|=2． ∴m1=5，m2=9．
∴点E的坐标为（0，5）或（0，9）．
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出n的值，得出点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y=kx+b，求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式；（2）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出点P的坐标（0，7），得出PE=|m﹣7|，根据S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=10，求出m的值，从而得出点E的坐标．
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