2014-2015学年江苏省常州市武进区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分） 1．化简
的结果是（ ）
A． 3 B． ﹣3 C． ±3 D． 9
2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
3．下列命题中，真命题是（ ） A． 两条对角线垂直的四边形是菱形
B． 对角线垂直且相等的四边形是正方形 C． 两条对角线相等的四边形是矩形 D． 两条对角线相等的平行四边形是矩形
4．估计﹣+1的值（ ）
A． 在﹣3到﹣2之间 B． 在﹣4到﹣3之间 C． 在﹣5之﹣4间 D． 在﹣6到﹣5之间
5．关于x的一元二次方程x﹣2ax﹣1=0（其中a为常数）的根的情况是（ ） A． 有两个不相等的实数根 B． 可能有实数根，也可能没有 C． 有两个相等的实数根 D． 没有实数根
6．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ） A． 菱形 B． 对角线互相垂直的四边形 C． 矩形 D． 对角线相等的四边形
7．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）
2
A． 30，2 B． 60，2 C． 60，
D． 60，
8．如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则
的值为（ ）
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
A． B．
C． D．
二、填空题（每题2分，共20分） 9．计算：
﹣
= ；（
2
+1）（﹣1）= ．
10．一元二次方程﹣x=x的解是 ．
11．使代数式
有意义的x的取值范围是 ．
2
12．若关于x的方程x﹣3x+k=0的一个根是0，则k值是 ，另一个根是 ．
13．一组数据2，﹣1，0，x，1的极差是5，则x的值是 ． 14．已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰长为3，则这个等腰梯形的周长为 ．
15．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是 度．
16．如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB的度数为 ．
17．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，
按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为 ．
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
18．如图，矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，EC=2cm，AD上有一点P，PA=6cm，
过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P与E重合，折痕交PF于Q，则线段PQ的长是 cm．
三、解答题（共20分） 19．计算： （1）
﹣
+
0
；
+（
）．
﹣1
（2）（π﹣2013）+
20．解方程：
2
（1）x﹣12x﹣4=0；
2
（2）3（x﹣2）=x（x﹣2）．
四、解答题（共36分）
21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
22．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，且BD=BC，点E、F分别是DC、AB的中点．求证： （1）EF=AB；
（2）过A点作AG∥EF，交BE的延长线于点G，则BE=GE．
23．观察下列各式及其验证过程：
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
=2，验证：
=
=
=2
．
=3，验证：===3．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证； （3）用a（a为任意自然数，且a≥2）写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程．
24．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论； （2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．
25．平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．
（1）请写出旋转中心的坐标是 ，旋转角是 度；
（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形．
26．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动． （1）用含有t的代数式表示PE= ； （2）探究：当t为何值时，四边形PQBE为梯形？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使△PQE为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
2014-2015学年江苏省常州市武进区九年级（上）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分） 1．化简
的结果是（ ）
A． 3 B． ﹣3 C． ±3 D． 9
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 本题可先将根号内的数化简，再开方，根据开方的结果得出答案． 解答： 解：故选：A．
点评： 本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意式子为（﹣3）的算术平方根，结果为非负数．
2．下列二次根式中与 A．
B．
是同类二次根式的是（ ） C．
D．
2
==3．
考点： 同类二次根式．
分析： 运用化简根式的方法化简每个选项即可选出答案． 解答： 解：A、=2，故A选项是； B、=3，故B选项不是； C、=2故C选项不是； D、
=
，故D选项不是．
故选：A．
点评： 本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是熟记化简根式的方法．
3．下列命题中，真命题是（ ） A． 两条对角线垂直的四边形是菱形 B． 对角线垂直且相等的四边形是正方形 C． 两条对角线相等的四边形是矩形 D． 两条对角线相等的平行四边形是矩形
考点： 菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．
分析： 本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系． 解答： 解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误； B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
故选D．
点评： 本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．
4．估计﹣+1的值（ ）
A． 在﹣3到﹣2之间 B． 在﹣4到﹣3之间 C． 在﹣5之﹣4间 D． 在﹣6到﹣5之间
考点： 估算无理数的大小． 分析： 先求出的范围，再求出﹣解答： 解：∵3＜＜4， ∴﹣3＞﹣＞﹣4， ∴﹣2＞﹣+1＞﹣3， 即﹣+1在﹣3到﹣2之间， 故选A．
+1的范围，即可得出选项．
点评： 本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出
2
的范围．
5．关于x的一元二次方程x﹣2ax﹣1=0（其中a为常数）的根的情况是（ ） A． 有两个不相等的实数根 B． 可能有实数根，也可能没有 C． 有两个相等的实数根 D． 没有实数根
考点： 根的判别式．
分析： 先计算△=（﹣2a）﹣4×（﹣1）=4a+4，由于4a≥0，则4a+4＞0，即△＞0，然后根据根的判别式的意义进行判断即可．
解答： 解：△=（﹣2a）﹣4×（﹣1）=4a+4，
2
∵4a≥0，
2
∴4a+4＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根． 故选A．
点评： 本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ） A． 菱形 B． 对角线互相垂直的四边形 C． 矩形 D． 对角线相等的四边形
考点： 三角形中位线定理；菱形的判定．
分析： 根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
解答： 解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点， ∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD， ∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形， 假设AC=BD， ∵EH=AC，EF=BD，
----完整版学习资料分享----
2
2
2
2
2
2
2
2
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形， 故选：D．
点评： 本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
7．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）
A． 30，2 B． 60，2 C． 60，
D． 60，
考点： 旋转的性质；含30度角的直角三角形． 专题： 压轴题．
分析： 先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．
解答： 解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2， ∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2，AB=2BC=4， ∵△EDC是△ABC旋转而成， ∴BC=CD=BD=AB=2，
∵∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形， ∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∵BD=AB=2，
∴DF是△ABC的中位线， ∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2
=
，
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
∴S阴影=DF×CF=×
=
．
故选C．
点评： 本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即： ①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③旋转前、后的图形全等．
8．如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则
的值为（ ）
A． B．
C． D．
考点： 矩形的性质；翻折变换（折叠问题）． 分析： 根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠BCA，从而得到∠EAC=∠DAC，设AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF=CF，再求出DF=EF，从而得到△ACF和△EDF相似，根据相似三角形对应边成比例求出
=，设DF=3x，FC=5x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等
求出AB，然后代入进行计算即可得解．
解答： 解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处， ∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD， ∵矩形ABCD的对边AB∥CD， ∴∠DCA=∠BAC， ∴∠EAC=∠DCA，
设AE与CD相交于F，则AF=CF， ∴AE﹣AF=CD﹣CF， 即DF=EF， ∴
=
，
又∵∠AFC=∠EFD， ∴△ACF∽△EDF， ∴
=
=，
设DF=3x，FC=5x，则AF=5x， 在Rt△ADF中，AD=
=
=4x，
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
又∵AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x， ∴
=
=．
故选A．
点评： 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
二、填空题（每题2分，共20分） 9．计算：
﹣
=
；（
+1）（
﹣1）= 1 ．
考点： 二次根式的混合运算． 专题： 计算题． 分析： 把（
化简成最简二次根式，然后把
﹣
进行合并即可；利用平方差公式计算（
+1）
﹣1）．
﹣
=
﹣
=
；
解答： 解：： （
+1）（
﹣1）=（，1．
）2﹣1=2﹣1=1．
故答案为
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
10．一元二次方程﹣x=x的解是 x1=0，x2=﹣1 ．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
分析： 先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 解答： 解：﹣x=x， 2
x+x=0，
x（x+1）=0， x=0，x+1=0，
x1=0，x2=﹣1，
故答案为：x1=0，x2=﹣1．
点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生解一元二次方程的能力，题目比较好，难度适中．
11．使代数式有意义的x的取值范围是 x≥﹣2 ．
----完整版学习资料分享----
2
2
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 解答： 解：由题意得，2+x≥0， 解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12．若关于x的方程x﹣3x+k=0的一个根是0，则k值是 0 ，另一个根是 3 ．
考点： 一元二次方程的解． 专题： 计算题． 分析： 先根据一元二次方程的解，把x=0代入原方程得到k的一次方程，解一次方程得到k的值，然后把k的值代入原方程，再利用因式分解法解方程得到方程另一个根．
解答： 解：把x=0代入x﹣3x+k=0得k=0，
2
所以原方程变形为x﹣3x=0，解得x1=0，x2=3， 所以方程另一个根是3． 故答案为0，3． 点评： 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
13．一组数据2，﹣1，0，x，1的极差是5，则x的值是 ﹣3或4 ．
考点： 极差．
分析： 根据极差的公式：极差=最大值﹣最小值．x可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．
解答： 解：当x是最大值时，则x﹣（﹣1）=5， 所以x=4；
当x是最小值时，则2﹣x=5， 所以x=﹣3．
故答案为﹣3或4．
点评： 本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．同时注意分类的思想的运用．
14．已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6，腰长为3，则这个等腰梯形的周长为 18 ．
考点： 梯形中位线定理；等腰梯形的性质．
分析： 此题只需根据梯形的中位线定理求得梯形的两底和，即可进一步求得梯形的周长． 解答： 解：∵等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6， ∴AB+CD=2×6=12． 又∵腰AD的长为3，
∴这个等腰梯形的周长为AB+CD+AD+BC=12+3+3=18． 故答案为：18．
22
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
点评： 本题考查的是梯形的中位线定理及等腰梯形的性质，熟知梯形中位线定理是解答此题的关键．
15．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是 22.5 度．
考点： 正方形的性质． 专题： 计算题．
分析： 根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC，从而可求得∠BCP的度数，从而就可求得∠ACP的度数．
解答： 解：∵ABCD是正方形， ∴∠DBC=∠BCA=45°， ∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC=（180°﹣45°°，
∴∠°﹣45°°．
点评： 此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质，平分每一组对角．
16．如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB的度数为° ．
考点： 正方形的性质；菱形的性质．
分析： 根据正方形的性质求出∠BAC=45°，再根据菱形的对角线平分一组对角解答即可． 解答： 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=45°，
∵四边形AEFC是菱形， ∴∠FAB=∠BAC=×45°°．
°．
点评： 本题考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键．
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
17．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，
按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为
．
考点： 菱形的性质；规律型：图形的变化类；中点四边形．
分析： 首先根据题意求得第一个菱形的面积、第二个矩形与菱形面积、第三个矩形与菱形面积，继而得到规律：第n个菱形的面积为：（）解答： 解：∵第一个矩形的面积为2， ∴第一个菱形的面积为1； ∴第二个矩形的面积为：， 第二个菱形的面积为：（）， 第三个矩形的面积为：（）， 第三个菱形的面积为（）， 依此类推，第n个菱形的面积为：（）∴第2013个菱形的面积为：（）
2n﹣2
432
2n﹣2
，则可求得答案．
，
4024
2×2013﹣2
=（）=．
点评： 此题考查了菱形与矩形的性质．此题难度适中，注意得到规律：第n个菱形的面积为：（）
2n﹣2
是解此题的关键．
18．如图，矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，EC=2cm，AD上有一点P，PA=6cm，过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P与E重合，折痕交PF于Q，则线段PQ的长是 cm．
考点： 翻折变换（折叠问题）． 专题： 压轴题；探究型．
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
分析： 连接EQ，由翻折变换的性质可知△PEQ是等腰三角形，OQ是PE的垂直平分线，再由已知条件得出PD及DE的长，由勾股定理得出PE的长，设PQ=x，则QF=5﹣x，用x表示出OQ的长，根据S△PEQ+S梯形QFCE=S梯形PFCE即可得出x的值，进而得出结论． 解答： 解：连接EQ，
∵将纸片折叠，使P与E重合，
∴△PEQ是等腰三角形，OQ是PE的垂直平分线，
∵矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，PA=6cm，CE=2cm， ∴PD=4cm，DE=3cm， ∵在Rt△DPE中PE=∴OP=PE=， 设PQ=x，则QF=5﹣x， ∴OQ=
=
=
=5．
∵S△PEQ+S梯形QFCE=S梯形PFCE，即：PE•OQ+（QF+CE）×CF=（PF+CE）×CF，
即×5×+×（5﹣x+2）×4=×（5+2）×4，
解得x=cm．
．
故答案为：
点评： 本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
三、解答题（共20分） 19．计算： （1）
﹣
+
0
；
﹣1
（2）（π﹣2013）++（）．
考点： 二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂． 专题： 计算题．
分析： （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据零指数幂、负整数指数幂的意义得到原式=1+3解答： 解：（1）原式=2
﹣
+2
+
，然后合并即可．
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
=
+2
；
+
（2）原式=1+3=1+
．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．
20．解方程：
（1）x﹣12x﹣4=0；
2
（2）3（x﹣2）=x（x﹣2）．
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
分析： （1）先移项，再配方，开方后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 解答： 解：（1）x﹣12x﹣4=0； 2
x﹣12x=4，
222
配方得：x﹣12x+6=4+6，
2
（x﹣6）=40， 开方得：x﹣6=±， x1=6+2，x2=6﹣2；
（2）移项得：3（x﹣2）﹣x（x﹣2）=0， （x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]=0， x﹣2=0，3（x﹣2）﹣x=0，
x1=2，x2=3．
点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生解一元二次方程的能力，题目比较好，难度适中．
四、解答题（共36分）
21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
2
2
2
考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题．
分析： 由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可．
解答： 证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC， ∴∠EAD=∠FCB=90°， ∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
在Rt△AED和Rt△CFB中，
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
∵
，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS）， ∴AD=BC， ∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形． 点评： 本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD=BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
22．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，且BD=BC，点E、F分别是DC、AB的中点．求证： （1）EF=AB；
（2）过A点作AG∥EF，交BE的延长线于点G，则BE=GE．
考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 专题： 证明题．
分析： （1）连接BE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE⊥AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=AB；
（2）求出AF=EF，再根据等边对等角可得∠AEF=∠EAF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AEF=∠EAG，从而得到∠EAF=∠EAG，然后利用等腰三角形三线合一的性质可得BE=GE． 解答： （1）证明：如图，连接BE， ∵BD=BC，点E是CD的中点， ∴BE⊥AC，
∵点F是AB的中点， ∴EF=AB；
（2）解：∵AF=EF=AB， ∴∠AEF=∠EAF， ∵AG∥EF，
∴∠AEF=∠EAG， ∴∠EAF=∠EAG， 又∵BE⊥AC，
∴BE=GE（等腰三角形三线合一）．
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
点评： 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
23．观察下列各式及其验证过程：
=2，验证：
=
=
=2
．
=3，验证：===3．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证； （3）用a（a为任意自然数，且a≥2）写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程．
考点： 二次根式的性质与化简． 专题： 规律型．
分析： （1）利用已知，观察
=2
，
=3
，可得
的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律； （3）利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可． 解答： 解：（1）∵∴验证：
（2）由（1）中的规律可知3=2﹣1，8=3﹣1，15=4﹣1， ∴
=a
，
2
2
2
=2==
，，
=3，
=4
=
=4
，正确；
验证：
==a；正确；
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
（3）
=a
（a为任意自然数，且a≥2），
验证：===a．
点评： 此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．
（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论； （2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．
考点： 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）设GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解． 解答： 解：（1）GF=GC． 理由如下：连接GE， ∵E是BC的中点， ∴BE=EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE， ∴BE=EF， ∴EF=EC，
∵在矩形ABCD中， ∴∠C=90°， ∴∠EFG=90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，
，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL）， ∴GF=GC；
（2）设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x， 在Rt△ADG中，4+（3﹣x）=（3+x）， 解得x=．
2
2
2
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键．
25．平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．
（1）请写出旋转中心的坐标是 （0，0） ，旋转角是 90 度；
（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形．
考点： 作图-旋转变换． 专题： 作图题．
分析： （1）根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，一对对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角；
（2）根据网格结构分别找出找出△A1AC1顺时针旋转90°、180°后的对应点的位置，然后顺次连接即可． 解答： 解：（1）旋转中心的坐标是（0，0），旋转角是90度；
（2）如图所示，△A1A2C2是△A1AC1以O为旋转中心，顺时针旋转90°的三角形， △A2C3B是△A1AC1以O为旋转中心，顺时针旋转180°的三角形．
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
点评： 本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的旋转中心与旋转角的确定，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
26．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动． （1）用含有t的代数式表示PE= ﹣t+3 ；
（2）探究：当t为何值时，四边形PQBE为梯形？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使△PQE为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）由四边形ABCD为矩形，得到∠D为直角，对边相等，可得三角形ADC为直角三角形，由AD与DC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由PE平行于CD，利用两直线平行得到两对同位角相等，可得出三角形APE与三角形ADC相似，由相似得比例，将各自的值代入，整理后得到y与x的关系式；
（2）若QB与PE平行，得到四边形PQBE为矩形，不合题意，故QB与PE不平行，当PQ与BE平行时，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出一对邻补角相等，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，可得出三角形APQ与三角形BEC相似，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到四边形PQBE为梯形时x的值；
（3）存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况考虑：当Q在AE上时，由AE﹣AQ表示出QE，再根据PQ=PE，PQ=EQ，PE=QE三种情况，分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意x的值；当Q在EC上时，由AQ﹣AE表示出QE，此时三角形为钝角三角形，只能PE=QE列出关于x的方程，求出方程的解得到满足题意x的值，综上，得到所有满足题意的x的值． 解答： 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4， ∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC=
∵PE∥CD，
∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD， ∴△APE∽△ADC，
又∵PD=t，AD=4，AP=AD﹣PD=4﹣t，AC=5，DC=3， ∴
=
=
，即
=
=
，
=5，
∴PE=﹣t+3．
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
故答案为：﹣t+3；
（2）若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形， 故QB与PE不平行， 当QP∥BE时， ∵∠PQE=∠BEQ， ∴∠AQP=∠CEB， ∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠BCE， ∴△PAQ∽△BCE，
由（1）得：AE=﹣t+5，PA=4﹣t，BC=4，AQ=t， ∴
=
=
，即
=
=
，
整理得：5（4﹣t）=16， 解得：t=，
∴当t=时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；
（3）存在． 分两种情况：
当Q在线段AE上时：QE=AE﹣AQ=﹣t+5﹣t=5﹣t， （i）当QE=PE时，5﹣t=﹣t+3， 解得：x=；
（ii）当QP=QE时，∠QPE=∠QEP，
∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°， ∴∠APQ=∠PAQ， ∴AQ=QP=QE， ∴t=5﹣t， 解得，t=
；
（iii）当QP=PE时，过P作PF⊥QE于F（如图1）， 可得：FE=QE=（5﹣t）=∵PE∥DC，∴∠AEP=∠ACD， ∴cos∠AEP=cos∠ACD=
=，
，
----完整版学习资料分享----
WORD完整版----可编辑----教育资料分享
∵cos∠AEP===，
解得t=；
当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图2所示： ∴PE=EQ=AQ﹣AE，AQ=t，AE=﹣t+5，PE=﹣t+3， ∴﹣t+3=t﹣（﹣t+5）， 解得nt=． 综上，当t=或t=
或t=
或t=时，△PQE为等腰三角形．
点评： 此题考查的是四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，梯形的判定，以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．
----完整版学习资料分享----
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容